elenro

Το απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων του Monty Hall

Το απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων του Monty Hall

από / ΟΔΗΓΟΣ ΣΤΟΙΧΗΜΑΤΟΣ / Τρίτη, 08 Μαρτίου 2016 10:58

Χάρη σε ένα πρόβλημα που έθεσε ο "pchatziko" στο forum του infobeto, ψάξαμε και βρήκαμε περισσότερα για αυτό και σας παραθέτουμε ένα άρθρο που έχει γράψει στο blog του  ένας φίλος μηχανικός. 

Ο Monty Hall είναι Καναδός σόουμαν, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι Let’s make a deal στο ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα ιστορικότερα που έχουν περάσει από την τηλεόραση, και χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα.

 
Το όνομα του Monty Hall, όμως, είναι πλέον γνωστό κυρίως στους μελετητές της επιστήμης των πιθανοτήτων, αφού αντιστοιχεί σε ένα από τα μεγαλύτερα "veridical paradoxes" της επιστήμης αυτής.

Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε Monty Hall problem, αν και το πρόβλημα ήταν στην πραγματικότητα αντίστοιχο με το ήδη γνωστό τότε Three Prisoners problemτου Martin Gardner και άλλα προβλήματα που είχαν διατυπωθεί ήδη ακόμα και από το 1889.
Το Monty Hall problem έχει ως εξής.

ΥΠΟΘΕΣΗ:
Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα, σύμφωνα με το γνωστό πλέον παιχνίδι της κουρτίνας.
Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μια κατσίκα, και αυξάνοντας την αγωνία των τηλεθεατών.

Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή, βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει.

ΠΡΟΤΑΣΗ:
Εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει 2 φορές περισσότερες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο απ’ ότι αν εμμείνει στην αρχική του επιλογή. Ισχύει ή όχι;

Ακόμα και οι ίδιοι οι μαθηματικοί, ακόμα και νομπελίστες επιστήμονες, όπως λέγεται, δε βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση.

Η πρώτη προσέγγιση λέει ότι εφόσον έχουν απομείνει δύο πόρτες, εκ των οποίων η μία έχει το αυτοκίνητο και η άλλη την κατσίκα, οι πιθανότητες να πετύχει κανείς το αυτοκίνητο είναι 50% σε οποιαδήποτε πόρτα, το πρόβλημα πλέον έχει μετατραπεί σε παιχνίδι τύπου κορώνα-γράμματα, οι πιθανότητες είναι οι ίδιες και ο παίκτης δεν έχει ιδιαίτερο λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή.
Η απάντηση αυτή μάλιστα θεωρείται, με την πρώτη αυτήν προσέγγιση, εξόφθαλμη και προφανέστατη.
Είναι, όμως, η λανθασμένη, και γι’ αυτόν ακριβώς το λόγο το Monty Hall problem αποκαλείται και Monty Hall paradox

Στην πραγματικότητα, αλλάζοντας την επιλογή του έχει διπλάσιες πιθανότητες να πετύχει το αυτοκίνητο.

Ο λόγος που οδηγούνται οι περισσότεροι στη λανθασμένη εντύπωση είναι ότι υποτιμούν τα δεδομένα. Η κατάσταση στην οποία βρεθήκαμε δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της, από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.
Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3 ή 33,3%, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν 2/3 ή 66,6%. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο.
Οι περισσότεροι παραβλέπουν ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.
Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε, πράγματι, οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.
Το παραπάνω δεδομένο όμως, μας λέει ότι το πείραμα του ανοίγματος της πρώτης πόρτας, δεν είναι τυχαίο. Αντιθέτως, στην πραγματικότητα δεν είναι καν πείραμα. Ο παρουσιαστής οδηγείται από την επιλογή μας στην επιλογή της πρώτης κουρτίνας που θα ανοίξει, με το σκεπτικό, βέβαια, για λόγους τηλεθέασης, σε κάθε περίπτωση, η πρώτη πόρτα που θα ανοίξει να έχει κατσίκα.
Στους δύο παρακάτω συγκριτικούς πίνακες που έχει φτιάξει η wikipedia στο σχετικό με το πρόβλημα λήμμα της, φαίνεται καθαρά πώς διαμορφώνεται η επιλογή του παρουσιαστή για την πόρτα που θα ανοιχτεί πρώτη και άρα ο τρόπος με τον οποίο το δεδομένο που τονίστηκε παραπάνω επηρεάζει την εξέλιξη του παιχνιδιού:

Λαμβάνοντας υπόψη, λοιπόν, το παραπάνω δεδομένο και μάλιστα από την υπόθεση του προβλήματος, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πρώτης πόρτας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες, απλώς παρατείνει την αγωνία μεταθέτοντας κατά κάποιο τρόπο στη μία κλειστή πόρτα που έχει κατσίκα ολόκληρο το 66,6% που αντιστοιχούσε προηγουμένως συγκεντρωτικά στις δύο κλειστές πόρτες που είχαν κατσίκες.
Η αρχική επιλογή του παίκτη, λοιπόν, εξακολουθεί να έχει 33,3% πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 66,6% πιθανότητα να κρύβει κατσίκα.
Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 66,6% πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 33,3% να έχει κατσίκα.
Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε πράγματι διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο.
Το σχέδιο της wikipedia που ακολουθεί εξηγεί σε ένα βαθμό όλα τα παραπάνω.
Αυτό που προτείνει η μέθοδος αυτή, δηλαδή, ουσιαστικά, είναι να επιλέξουμε στην αρχή μια πόρτα τυχαία, γνωρίζοντας ότι το πιθανότερο (66,6%) είναι η επιλογή μας να μην αντιστοιχεί σε αυτοκίνητο, να περιμένουμε τον παρουσιαστή να βγάλει από το παιχνίδι μία πόρτα με κατσίκα, και τότε να εγκαταλείψουμε την αρχική επιλογή.
Τελικά καταλήγουμε στη σωστή πόρτα, αν η αρχική μας επιλογή ήταν εσφαλμένη, που είναι και το πιθανότερο, ενώ αν ήμασταν αρκετά τυχεροί στην αρχή ώστε να μαντέψουμε σωστά με την πρώτη την πόρτα με το αυτοκίνητο (33,3%), αλλάζοντάς την, στη συνέχεια, το χάνουμε…

Η μέθοδος αυτή έχει εμπνεύσει, μάλιστα, διάφορες σκηνές στον κινηματογράφο.

Δεν είναι, πάντως, η μόνη φορά που ένα ενδιαφέρον πρόβλημα πιθανοτήτων ή και στατιστικής προέκυψε μέσα από ένα τηλεπαιχνίδι.
 
Σας παραθέτω και ένα βίντεο που το εξηγεί:
 
 
 
 
Πηγή: jkpant.blogspot.gr

Συγγραφέας

Άρης Τριανταφυλλόπουλος

Άρης Τριανταφυλλόπουλος

Δεν έχετε δικαίωμα δημοσίευσης μηνυμάτων. Παρακαλούμε γραφτείτε για να να πάρετε μέρος στη συζήτηση.

21 Σεπ 2019
Μετά από ένα γεμάτο μεσοβδόμαδο, με αγώνες κορυφαίων διοργανώσεων επιστρέφουμε σε ροή πρωταθλημάτων, σε ένα γεμάτο σημερινό στοιχηματικό κουπόνι.   Πάμε να δούμε τις επιλογές που έχουμε ξεχωρίσει ... Περισσότερα

Τελευταία Μηνύματα από το Forum

Μήνυμα Αποστολέας Ημερ.
infobeto forum IFC#16: ΚΟΥΠΟΝΙ: 3η αγωνιστική 24-26/9/2019 Ertzan Σήμερα 18:12
infobeto forum sans voir live fairplay Σήμερα 17:58
infobeto forum Ό,τι πάρεις 3.00 plus tipois Σήμερα 17:17
infobeto forum BetOn skg3 Σήμερα 16:33
infobeto forum IFC#16: Α ΟΜΙΛΟΣ: 2η αγωνιστικη giannisthegreek Σήμερα 15:42
infobeto forum Αρχάριος Balaton Σήμερα 14:53
infobeto forum Ισοπαλίες του Eric Castel Eric Castel Σήμερα 14:47
infobeto forum Κουβαδάκια 2019-20 animusbet Σήμερα 14:24
infobeto forum Σεζον 2019-2020 tino Σήμερα 14:08
infobeto forum IFC Top Picks 2019-2020 Balaton Σήμερα 14:01

Μεγάλοι Διαγωνισμοί!

To infobeto διοργανώνει 3 νέους μεγάλους διαγωνισμούς για το Champions League, το Europa League και το Ελληνικό πρωτάθλημα!

Ενημερωθείτε από το παρακάτω link για τους όρους συμμετοχής και για το πως μπορείτε να λάβετε μέρος και να κερδίσετε πλούσια δώρα!

ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ

casinopro.gr

Στατιστικά Tipsters

  • Profit-Yield 2019
  • Profit-Yield All Time
  • Hot Tipsters (Streak)

Tipster Profit Yield
Iliakis +130.76 +19.57%
Pennos +17.06 +10.66%
Nash +8.44 +120.57%
Ertzan +6.52 +4.35%
Kotakis -20.71 -32.87%
Raptakis -41.91 -11.97%
Tsiokos -92.98 -25.76%

Tipster Profit Yield
Iliakis +1024.99 +14.39%
Nash +382.91 +11.03%
Kotakis +164.23 +5.67%
Pennos +73.72 +9.57%
Raptakis +55.26 +1.59%
Ertzan -4.55 -0.11%
Tsiokos -92.98 -25.76%

Tipster Won Draw Lost
Nash1208
Pennos1109
Ertzan1019
Raptakis9011
Tsiokos8111
Iliakis8111
Kotakis7013

Τζίροι

Man City v Watford €2590395
Everton v Sheff Utd €2241800
Villarreal v Valladolid €1135960
Burnley v Norwich €1004022
Juventus v Verona €860109
Levante v Eibar €431949
Atletico Madrid v Celta Vigo €352553
Newcastle v Brighton €287851
AC Milan v Inter €287504
Marseille v Montpellier €231599

Περισσότερα...

Please publish modules in offcanvas position.